SIMETRIA ICOSAÉDRICA: A SOLUÇÃO MATEMÁTICA PARA VÍRUS ( VÍRION ), BOLA DE FUTEBOL, FULERENOS ( BUCKBALLS ), FUNGOS E CÚPULAS OU DOMOS GEODÉSIC0S

ICOSAHEDRIC SYMMETRY: THE MATHEMATICAL SOLUTION FOR VIRUSES (VIRION), SOCCER BALL, FULLERENES (BUCKBALLS), FUNGI AND GEODESIC DOMES

atualizado em 14/06/2026.

INTRODUÇÃO

Por muitos anos soube-se que os vírus são os menores micróbios existentes – agentes filtráveis, aqueles que atravessam membranas que retém bactérias. A maioria dos vírus está abaixo do limite de resolução do microscópio ótico [200 nanômetro (nm) = 2000 angstroms (ºA)]. À exceção o vírus  da varíola, e recentemente os vírus gigantes, como o mimivírus (2003) e o pithovírus (2014), com valores entre  300 e  1.500 nm. 

Somente com o advento da microscopia eletrônica foi possível estudar a morfologia destes agentes infecciosos. Está claro que as partículas virais  podem variar em tamanho, desde as maiores moléculas proteicas (os anticorpos), passando pelos ribossomos (24 nm) até se igualarem a bactérias, como as riquétsias.

O vírion (partícula viral infecciosa) mais simples consiste em uma única molécula de ácido nucléico, DNA ou RNA, cercada por uma capa de proteína, o capsídeo. O capsídeo é composto de um número definido de unidades morfológicas chamadas de capsômeros. Dentro de uma célula infectada, os capsômeros sofrem o processo de automontagem para formar o capsídeo. Os capsídeos virais são formados por dezenas ou centenas de proteínas. Estas proteínas necessariamente se arranjam segundo um plano de simetria que as compacte de modo idêntico; e estes arranjos podem ser de simetria helicoidal ou simetria cúbica (icosaédrica, octaédrica), ou de forma complexa ( como no vírus da varíola e nos bacteriófagos).

A simetria cúbica achada no vírus é baseada no icosaédro, um dos cinco sólidos Platônicos da geometria (cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro). Um icosaédro tem 12 vértices (cantos) e 20 faces, sendo que cada uma corresponde a um triângulo eqüilátero. A simetria icosaédrica é a solução ótima que a natureza encontrou para construir, através subunidades repetidas, uma estrutura forte de máximo volume. Antes da simetria icosaédrica ser observada nos vírus, os mesmos princípios foram aplicados pelo arquiteto Buckminster Füller na construção de edifícios esferoidais (cúpulas geodésicas). Os vírus esféricos quando observados ao microscópio eletrônico com grande resolução revelam suas proteínas organizadas em grupos morfológicos (capsômeros) segundo a simetria icosaédrica. No entanto, um objeto com simetria icosaédrica não se mostra angular no esboço; os vírus com simetria icosaédrica se revelam esféricos com uma superfície acidentada. A simetria é que decide o tipo de capsídeo, e não a forma.

Em 1985, estudando a geometria das moléculas, Harold e Smalley observaram um outro exemplo importante, quando estudavam a ação de raios laser de alta potência sobre blocos de grafita em atmosfera de He, onde constataram a formação de estruturas ocas, em forma de bola de futebol, com 60 átomos de carbono ligados entre si (Estrutura C60, com seus anéis de 5 e 6 Carbonos – pentâmetros e hexâmeros, respectivamente), apresentando, portanto, a simetria icosaédrica. A mesma encontrada em algumas partículas virais, na bola de futebol e nos edifícios esféricos idealizados pelo arquiteto Buckminster Füller. Daí os nomes para esses alótropos do Carbono serem conhecidos como fulerenos ou buckbolas.

Também podemos observar tal arranjo simétrico nos fungos, em seus corpos de frutificação, dos quais originam seus esporos (suas formas de reprodução). 

FIGURAS

Figura 1.  Bola de futebol com os seus gomos pentagonais (pretos) e hexagonais (brancos) e os modelos de fulerenos C60, com seus anéis de 5 e 6 Carbonos.

Figura 2. Estrutura do C60 (modelo esquemático), ou buckyball, ou fulereno-60 (homenagem a Buckminster Füller). Apresenta forma esférica e simetria icosaédrica. A mesma da bola de futebol. Fonte: Química . Ricardo Feltre. Editora Moderna. 1995.

Figura 3. Imagens reconstruídas através da microscopia eletrônica. Partículas virais com simetria icosaédrica. Uma imunoglobulina IgG está incluída na mesma escala das partículas virais. A barra de escala corresponde a 500 Å . Fonte: Fields Virology. Copyright © 2007 by Lippincott Williams & Wilkins.

Figura 4. Domo geodésico, que serviu como Pavilhão dos Estados Unidos na Expo-67, em Montreal, no Canadá, projetado pelo arquiteto Richard Buckminster Füller (daí a origem do nome, fulereno, um dos alótropos do Carbono).

Fonte:www.essential-architecture.com/ARCHITECT. Acessado em 08.05.2010.

Figura 5. Observe na bola de futebol tradicional (a da Copa do Mundo de 1970 – A Telstar® da Adidas de 1970) e suas estruturas pentagonais (12, em preto) e  hexagonais (20, em branco), totalizando 32 gomos. Compare com a molécula C60 ou fulereno-60 (uma variedade alotrópica do carbono) [Figura 1]. Fonte: Adidas (2026).

                                                                   (a)

                                                                   (b)

Figura 6.  Veja a folha em (a) com 24 selos (4 sextilhas) da Emissão Postal Especial Comemorativa pelo Brasil em 05 de Junho de 2019, Manaus-AM: Diversidade de FUNGOS. A espécie em (b) Clathrus chrysomycelinus (Gaiola-de-bruxa-amarela) apresenta um corpo de frutificação* com simetria isosaédrica. Observe as estruturas pentagonais e hexagonais. A série estampa  selos de seis espécies de Basidiomycota pertencentes à Classe Agaricomycetes. Imagens: arquivo pessoal.

* A espécie é caracterizada pelo basidioma em forma de um domo geodésico, de coloração amarelada. Os esporos estão localizados na porção interna dessa estrutura.

                                                       C

Figura 7. Figura esquemática da partícula viral do norovírus (Agente Norwalk). O norovírus não apresenta o arranjo clássico de capsômeros pentaméricos e hexaméricos independentes encontrados em outros vírus (adenovírus, herpesvírus, nucleocapsídeo do HIV). Seu capsídeo é formado por uma rede contínua de dímeros da proteína VP1 (A), nas quais as regiões pentagonais e hexagonais (B), refletem a simetria icosaédrica do capsídeo viral. Em (C), no modelo fotogramétrico* impresso, é possível observar esses grupamentos dos dímeros da VP1 em pentágonos e hexágonos.  Observe as depressões formada entre os dímeros da VP1, motivo pelo qual receberam o nome de Calicivírus (Família Caliciviridae, do latim calyx = cálice), por lembrarem pequenas taças.  No total são 90 dímeros da VP1 presentes no capsídeo do norovírus, o que pode ser dito segundo a Virologia Clássica: – O capsídeo possui 90 capsômeros (90 unidades morfológicas).

Fonte das figuras (A) e (B): ViralZone. https://viralzone.expasy.org/194. Acesso 10 junho de 2026. Fonte da figura (C): arquivo pessoal do Professor Marcelo Moreno.

*Fotogrametria = estrutura 3D a partir de imagens. No caso dos vírus essas estruturas são obtidas  por microscopia crioeletrônica (cryo-EM), dessa forma preservando as características morfológicas de cada vírus.

DISCUSSÃO

 

No inicio da década de 1960,  vários matemáticos como Caspar,  Klug, Horne e Wildy acreditavam que a simetria icosaédrica possui a menor energia livre de formação, e portanto mais estável, o que explicaria a sua existência com estruturas pentaméricas e hexaméricas, nos vértices e nas faces, respectivamente, para  a partícula viral; construídas através de estruturas proteicas repetitivas. Confirmando, assim, o modelo do capsídeo icosaédrico*.

 

*(empacotamento de pentágonos e hexágonos em poliedros com simetria icosaédrica), descoberta realizada pelo matemático Michael Goldberg em 1937.

 

Como já descrito anteriormente, esses capsídeos são formados pela reunião de 12 unidades pentaméricas (os capsômeros), reunindo um total de 60 unidades morfológicas idênticas (os capsômeros). 

 

Na mesma década, Caspar e Klug observando  os princípios da construção dos domos geodésicos feitos pelo arquiteto  Buckminster Füller, mostraram ser possível construir arranjos estáveis de simetria icosaédrica com mais de 60 unidades estruturais. Füller mostrou que grandes construções geodésicas podem se formadas sem comprometer a estabilidade da estrutura. Percebeu-se, assim, que as ideias de Buckminster Füller revelavam que as estruturas biológicas seguiam o mesmo princípio, quando se observava os vírus maiores com a simetria icosaédrica. Lembre-se de que a estrutura icosaédrica (objeto de simetria 5:3:2, apresenta 12 vértices e 20 faces), e nos vírus,  acomoda e protege em tão minúsculo espaço o genoma viral. Ou seja, através de subunidades repetidas, forma-se uma estrutura forte de volume máximo, e de superfície mínima, com o valor da razão [superfície do icosaedro/pelo seu seu volume] igual a 1:3,6, o que também é espantosamente surpreendente. 

 

Agora, é possível correlacionar e compreender tais estudos com a importância da estela votiva do porteiro Roma, aquele egípcio do Templo de Astarte que se apoia num cajado, por conta de sua perna direita estar atrofiada, revelando a sequela da infecção pelo vírus da poliomielite cerca de 3.500 anos atrás (pedra egípcia exibida na página inicial deste blog, de propriedade do Museu Ny Carlsberg Glyptotek, localizado em Copenhague, Dinamarca – adquirida pelo museu no comércio do Cairo em 1895). 

 

Tal artefato revela que o minúsculo vírus da pólio, cerca de 30 nm de diâmetro, com suas proteínas do capsídeo formando uma estrutura de simetria icosaédrica, protegeu o seu genoma por um longo tempo, possibilitando sua circulação na superfície do planeta até os dias atuais. Ou seja, a construção de estruturas geodésicas pelo arquiteto Buckminster Füller é segura. O registro da pólio encontrada na estela do porteiro Roma indica que trata-se de uma construção resistente, que por sua vez consome o mínimo de material, além de apresentar  um  grande espaço interno, quando comparado a sua própria superfície.

 

Assim, saindo dos resultados da esfera acadêmica (Caspar, Klug e outros), com base em revelações de uma estela votiva de mais de 3.000 anos da XVIII dinastia do Império Egípcio, chegamos aos gramados dos estádios do México, quando a bola de futebol da Copa do Mundo de 1970, construída pela primeira vez utilizando  estudos realizados por biomatemáticos, consagrou o Brasil como Tricampeão Mundial. 

A Telstar® da Adidas de 1970 tratava-se de uma bola estável. Não havia possibilidades de gols feitos contando com a sorte. O título foi  conquistado com técnica e talento dos nossos jogadores brasileiros ("nossos canarinhos").

Acrescenta-se ainda, o fato de que os atletas de futebol, a partir desta data histórica, estão trabalhando com bolas mais resistentes às deformações causadas pelos chutes e, portanto, mais duráveis. Ou seja, a bola continua "redonda", mas evoluindo.

Deve-se salientar que a simetria icosaédrica encontrada nos vírus, não implica, necessariamente, a existência de capsômeros pentaméricos e hexaméricos. O norovírus (agente etiológico da gastroenterite aguda viral em diversas faixas etárias), os padrões pentagonais e hexagonais representam apenas a simetria da rede proteica contínua, formada por 90 dímeros da sua VP1 (proteína viral 1), e não unidades morfológicas distintas. Muito embora se observe no capsídeo viral desses vírus agrupamentos em cinco e em seis (uma condição da simetria icosaédrica).

Enfim, nos norovirus pode se dizer: O capsídeo dos norovírus assemelha-se, do ponto de vista geométrico, ao alótropo C₆₀ (fulereno ou buckball), pois apresenta regiões de simetria pentagonal e hexagonal. Essas regiões são formadas pela organização espacial dos dímeros da proteína VP1 em uma rede proteica contínua, e não por capsômeros pentaméricos e hexaméricos independentes.

CONCLUSÃO

Podemos então perceber o encontro do mundo microscópico (os vírus e a estrutura C60) com o mundo macroscópico (a bola de futebol, os fungos e as construções geodésicas). A resistência de tais estruturas é regida pelas mesmas Leis da Matemática. Neste pequeno exemplo, buscamos conhecimentos da Arquelogia, Virologia, Micologia,  Matemática e da Química, demonstrando que as disciplinas vivenciadas durante nossa vida acadêmica não estão isoladas. No momento, como brasileiros, resta-nos saber se a bola da FIFA World Cup UNITED™ 2026, a Trionda®,  será a melhor para os nossos "amarelinhos". 

Segundo a Adidas, a Trionda foi desenvolvida para a Copa do Mundo FIFA 2026 e apresenta uma construção com apenas quatro gomos termossoldados.

A Telstar® dominou o futebol mundial por cerca de 36 anos (de 1970  a 2006, quando surgiu a Teamgeist®, com 14 gomos). Já a geometria da Trionda é o estágio mais recente dessa evolução, iniciada em 2006, quando o arranjo clássico de 32 gomos foi abandonado. 

Enfim, tanto a Telstar, quanto os inúmeros capsídeos virais exploram a ideia de máxima estabilidade estrutural obtida pela repetição de muitas unidades organizadas em uma simetria que resulta numa estrutura esférica ou quase esférica. Já a Trionda é uma solução brilhante da engenharia humana (polímeros modernos; moldagem tridimensional; soldagem térmica; simulações computacionais) para produzir uma bola estável e resistente, mas não uma solução que a evolução biológica parece ter considerado vantajosa para construir vírus. 

Seria bom que os nossos jogadores da seleção brasileira de futebol lessem a postagem. Com certeza se sentiriam, aerodinamicamente falando, mais preparados para os grandes chutes, sem medo de erro, diante de tanta evolução tecnológica nos últimos quase 60 anos!

"Porque bola na trave não altera o placar!"

Diz a canção. Skank, 1995.

REFERÊNCIAS

• Medical Virology. David White & Frank Fenner. Academic Press, New York-US. 4th Edition (Chapter 1 – Page 4-10; 27 June 1994).
• Fenner and White's Medical Virology. Christopher J. Burrel; Colin R. Howard and Frederick A. Murphy. Academic Press, London-UK. 5th Edition, Chapter 3 – Page 27-37; 2017.
• Química. Editora Moderna.1995.
• Fields Virology by LIPPINCOTT WILLIAMS & WILKINS -LWW. 2007.
• Santos, N.S.O., Virologia Humana. 4ª ed. Guanabara Koogan, 2021. 
• Viruses under the Mathematical Microscope: Deciphering the Code of Viral Geometry. Reidun Twarock, Professor Of Mathematical Biology at the University of York, York, UK. Fonte: https://www.youtube.com/watch?v=yHnHwTFKM_Q.  Acesso em 27/06/2013.
• https://blog.correios.com.br/filatelia/wp-content/uploads/2015/06/edital_8_2019_fungos_web.pdf Acesso 30/10/2019.
• FÉDÉRATION INTERNATIONALE DE FOOTBALL ASSOCIATION (FIFA). The adidas Telstar begins ball chain. Zurich: FIFA, 2020. Disponível em: FIFA - The adidas Telstar begins ball chain. Acesso em: 14 jun. 2026.
• ADIDAS. Trionda: bola oficial da Copa do Mundo FIFA 2026™. Herzogenaurach: Adidas, [2026]. Disponível em: https://www.adidas.com.br/go/campaign/trionda. Acesso em: 14 jun. 2026.
• ViralZone. Disponível em: https://viralzone.expasy.org/194. Acesso em: 10 jun. 2026.
• BAKER, T. S.; OLSON, N. H.; FULLER, S. D. Adding the third dimension to virus life cycles: three-dimensional reconstruction of icosahedral viruses from cryo-electron micrographs. Microbiology and Molecular Biology Reviews, Washington, DC, v. 63, n. 4, p. 862–922, 1999. DOI: 10.1128/MMBR.63.4.862-922.1999.